Método de Newton-Raphson

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Em análise numérica, o método de Newton (ou Método de Newton-Raphson), desenvolvido por Isaac Newton e Joseph Raphson, tem o objetivo de estimar as raízes de uma função. Para isso, escolhe-se uma aproximação inicial para esta. Após isso, calcula-se a equação da reta tangente (derivada) da função nesse ponto e a interseção dela com o eixo das abcissas, a fim de encontrar uma melhor aproximação para a raiz. Repetindo-se o processo, cria-se um método iterativopara encontramos a raiz da função. Em notação matemática, o método de Newton é representado da seguinte forma:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}},}$

onde n indica a n-ésima iteração do algoritmo e f'(x_n) é a derivada da função f em x_n.

Para que se obtenha sucesso na iteração, devemos respeitar a seguinte condição:

• A função f deve ser diferenciável em x_n e seu valor deve ser não nulo.

Índice

  [esconder] 

• 1Interpretação geométrica do método de Newton
• 2Análise de convergência
• 3Generalização do método de Newton
• 4Exemplos
• 5Considerações sobre o método
• 6Referências
• 7Ligações externas

Interpretação geométrica do método de Newton[editar | editar código-fonte]

Consideremos o problema de calcular a raiz de uma função f, conforme a figura ao lado.^[1][2][3][4]

As três primeiras iterações do método de Newton.^[5]

Queremos calcular x₁ em função de x₀, sabendo que x₁ será a cota no eixo das abcissas interceptado pela reta tangente à curva, originada por x₀.

A equação da reta que passa por (x₀,f(x₀)) e é tangente à curva em (x₀,f(x₀)) tem inclinação m=f'(x₀), é dada por:

${\displaystyle y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})}$

Sabendo que essa reta passa por (x₁,0), temos que:

${\displaystyle 0-f(x_{0})=f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})}$

Portanto,

${\displaystyle x_{1}=x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}}$

De modo geral, teremos:

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}}$